LOCALISATION PAR GPS

LOCALISATION GPS

CONTENU : Mis à jour février 2011, revu sept 2011

I Constellation GPS

II Localisation GPS

1°) Principe de localisation simple

2°) Calcul de l'altitude

3°) La réalité

4°) Mesure de vitesse

5°) GPS différentiel

III L'avenir

NB :voir l’étude d’un algorithme de calcul de position

Voir, avant de commencer, un excellent site très illustré.

Avertissement de l’auteur : considérer cette présentation comme une vulgarisation seulement destinée à présenter le principe de localisation. De bonnes adresses sont fournies au fur et à mesure de l’avancement.

I LA CONSTELLATION GPS:

1°) ORIGINE :

Le système de localisation GPS, de portée mondiale, repose sur une constellation de 24 satellites en orbite circulaire. Le système et opérationnel depuis 1994.

Le Navstar/G.P.S. (Navigation System with Time and Ranging/Global Positionning System) est créé en 1973 par l’U.S. Navyet l’U.S. Air Force. Il offre à tous les utilisateurs un service homogène et continu en trois dimensions.

NB : Le codage est susceptible de donner aux forces américaines une précision supérieure à celle d'un usager civil. De plus l'armée US se réserve paraît-il le droit de dégrader l'information, en cas de conflit où les USA sont partie prenante.

2°) SEGMENT SPATIAL : UNE CONSTELLATION :

Le GPS utilise une constellation de 24 satellites de 500 kg environ, phasés 2/1, régulièrement répartis sur six orbites circulaires, déphasées de 60°, inclinées à 55 degrés sur le plan équatorial, à une altitude sol de 20 184 km, donnant une période de 43082 s, moitié de la période sidérale terrestre, quasiment 12 heures. Cette répartition spatiale garantit la visibilité en permanence d’au moins six satellites en tout point du globe. La durée de vie minimale du système est de 7 ans

3°) SEGMENT SOL :

Le contrôle au sol du système est assuré par des stations de surveillance, dépendant exclusivement des USA. La station de contrôle maîtresse (M.C.S., Master Control Station), implantée à Colorado Springs, calcule en permanence les temps de propagation ionosphérique, les effets mécaniques relativistes, la dérive des horloges, et établit les éphémérides des satellites( capital, puisque les systèmes récepteurs utilisent ce positionnement précis pour leurs calculs), ces informations sont ensuite retransmisent aux satellites de la constellation.

4°) LE SIGNAL GPS : Voir une synthèse exhaustive et précise du signal GPS Autre site plus technique et intéressant

Chaque satellite possède une horloge atomique maintenue à 7ms du temps UTCet émet à 2 fréquences élevées en bande L de L1=1575.42 MHz et L2=1227.6 MHz avec une stabilité de 10^..23 MHz. Cette fréquence ne traverse ni le béton ni un feuillage dense. Il est donc nécessaire que le récepteur soit dans une zone dégagée.

Trois types de signaux sont émis:

Un message de navigation avec l’almanach du système (état, identification, positions, temps), sur L1. Message de 1500 bits, à 50 Hz durant donc 30 s.

Un code dit C/A. (Coarse/Acquisition) au rythme de la milliseconde, permettant la mesure de la distance, module L1. Le code de 1023 bits est émis à 1.023 Mbits/s, il dure donc 1 seconde. C'est ce signal qui peut être dégradé par une erreur volontaire appelée SA(selective avaibility)..

Un code dit P (Precision) à intervalles longs est réservé uniquement aux utilisateurs privilégiés du GPS. Ce code est émis sur L1 et L2 à une fréquence 10 fois plus grande de 10.23 Mbits/s. Sa durée est de 7 jours. Les clients utilisent des clés de décryptage.

II PRINCIPE DE LOCALISATION GPS :

1°) POSITIONNEMENT SIMPLE SUR LE GLOBE :

Le principe de localisation est en lui même très simple. En effet, si on imagine de vouloir localiser un point M, de la surface du globe terrestre, il suffit d'entrer en contact avec 3 satellites.

Chaque satellite envoie son numéro d'identification, sa position précise par rapport à la terre, ou dans le repère lié à Greenwich, l'heure exacte d'émission du signal. Le récepteur GPS, grâce à son horloge supposée synchronisée sur celle des satellites, calcule donc le temps de propagation à la vitesse de la lumière et en déduit la distance au satellite.

Le boîtier récepteur, que possède le particulier, procède par mesures de distances; de ce point de vue, le G.P.S. travaille en régime sphérique.

Le point M est donc sur une sphère de rayon D1 et de centre le satellite S1, l'intersection avec le globe terrestre donne un premier cercle C1.

Le point M est aussi sur une sphère de rayon D2 et de centre le satellite S2, l'intersection avec le globe terrestre donne un deuxième cercle C2. Les cercles C1 et C2 se coupent donc en 2 points.

Le point M est enfin sur une sphère de rayon D3 et de centre le satellite S3, l'intersection avec le globe terrestre donne un troisième cercle C3. C'est le troisième satellite "qui lève l'indétermination" et précise de manière unique le point M cherché, celui situé au plus près du troisième cercle. Mais attention, ceci n’est acceptable qu’au niveau du sol et le résultat n’est qu’approché.

2°) POSITIONNEMENT EN ALTITUDE :

Lorsque l'on veut en plus des cartésiennes ( X Y Z ) ou de la latitude longitude et l'altitude, on utilise un quatrième satellite. Plus ce dernier sera proche de la verticale de M, plus l'altitude sera fiable. En pratique il arrive que M puisse "voir" 12 satellites. Un algorithme de calcul affine donc la position 3D en utilisant un maximum de satellites. D'ailleurs le récepteur GPS indique de lui même, le nombre de satellites en vue, c'est à dire utilisables.

Par exemple un satellite visible au ras de l'horizon sera inopérant pour calculer l'altitude. Réciproquement un satellite à la verticale de M donnera un mauvais positionnement horizontal. Pour des appareils évolués, le récepteur affiche le positionnement des satellites utilisés, ce qui permet d'apprécier la qualité de l'information calculée. Certains appareils indiquent même la précision de la localisation.

Cette influence de la géométrie de la constellation est caractérisée par un coefficient GDOP ( Geometric Dilution Of Precision). L'UERE ( User Equivalent Range Error) de standardisation GPS est de l'ordre de 16 à 23 m pouvant aller jusqu'à 400 m après 14 jours sans transfert de données..

La précision réelle est le produit GDOP par UERE.

3°) UNE PREMIERE REALITE ET LES CALCULS :

L’horloge du récepteur est moins précise que celle du satellite et n’est jamais parfaitement synchronisée. Le calcul consiste donc à résoudre des équations dont les inconnues sont les trois coordonnées X Y Z de M, et une erreur de temps Dt inconnue mais identique pour toutes les mesures des distances approchées D1, D2, D3,....puisque tous les satellites sont parfaitement synchronisés entre eux. Ainsi le récepteur utilise les données de quatre satellites pour résoudre son problème, soit par mesures successives avec une seule voie de réception, soit par mesures simultanées avec un récepteur à plusieurs voies. Cette dernière méthode est naturellement impérative pour des engins évoluant à grande vitesse.

Le G.P.S. assure en tous points du globe un positionnement et une navigation en trois dimensions, précis à quelques dizaines de mètres près pour les utilisateurs classiques (soumis à une dégradation éventuelle aléatoire des signaux), et approchant 10 mètres dans le plan horizontal et 15 mètres en altitude pour les usagers privilégiés ou l'armée américaine.

CALCULS :

Les coordonnées connues des satellites (Xi, Yi, Zi ) et inconnues ( X, Y, Z ) du point à localiser sont prises dans un même référentiel, par exemple lié à la terre tournante ( Repère de Greenwich ) ce qui donnera plus facilement les coordonnées en latitude et longitude.

Ti pour i = 1 2 3 sont les temps de propagation et c la vitesse de la lumière.

Le calculateur calcule donc X Y Z avec une erreur qui dépend de DT.

NB : Les calculs de longitude et de latitude demandent la connaissance d'un modèle de géoïde.

COMPLEMENTS ( février 2011 ):

En faisant la différence membre à membre des équations (2)-(1) et (3)-(2) et en gardant la troisième, on obtient:

Où encore : La résolution des équations (1) et (2) en X et Y donne X et Y fonctions linéaires de Z

en reportant dans l'équation 3, on aboutit à une équation du second degré en Z de la forme:

Equation qui possède 2 racines, confirmant bien évidemment qu'avec 3 mesures, on obtient 3 sphères et 2 points d'intersection. C'est donc le quatrième satellite qui lèvera l'ambiguïté. A un détail près, la quatrième sphère n'a aucune chance de passer par l'un des points calculés parce que les erreurs accumulées l'en empêche.

Le récepteur pourra cependant, dans un premier temps choisir le point le plus proche de la quatrième sphère.

L'information provenant du quatrième satellite est utilisée par le récepteur pour corriger son horloge qui n’est pas synchrone avec celle des émetteurs

La logique du récepteur manipule les données de son horloge et calcule les corrections nécessaires pour que les quatre sphères se coupent en un point ; il se synchronise ainsi avec les satellites. Cette ultime procédure permet une localisation avec une extrême précision !

NB :Le lecteur passionné pourra consulter une approche beaucoup plus précise de la localisation, avec une étude mathématique originale débouchant sur un algorithme très précis et rapide, le tout confirmé par une modélisation excellente sous Matlab.

Voir l‘étude

RELATIVITE ET GPS :

Le système GPS est naturellement utilisé au voisinage de la Terre qui est un corps massif, dont la présence gravitationnelle modifie l'espace environnant, la relativité générale répond à cette question. Chaque satellite est aussi animé d'une vitesse différente de celle du récepteur, de l'ordre de 7 à 8 km/s et c'est la relativité restreinte qu'il faut alors utiliser pour calculer la dérive d'une horloge par rapport à l'autre.

Le temps propre en orbite est donc légèrement différent du temps de l'utilisateur au sol. De combien? De l'ordre du milliardième de seconde, en moins toutes les secondes. Exactement 0.825 10^-9 s

C'est bien sûr petit, mais pour un signal à 300000 km/s cela donne un écart de distance de 25 cm. Comme ce retard de l'horloge de bord est cumulatif on conçoit qu'après un tour d'orbite, soit environ 1 h 30 mn, l'écart puisse devenir conséquent de l'ordre de 1.35 km.

Le système GPS tient donc compte de l'interaction relativiste masse de la Terre/Signal.

Dérive des horloges :

On touche là à une question presque incompréhensible par un être humain, ne tombant pas sous le sens commun. C'est Einstein, avec sa théorie de la relativité qui a révélé le problème.

Voir détails

a) En relativité restreinte : Lorsque 2 horloges H1 et H2 parfaitement identiques et parfaites sont synchronisées à un instant To, si l'une H1 reste par exemple au repos au sol et que l'autre H2 prend une vitesse V par rapport à H1, alors les 2 horloges ne mesurent plus les mêmes durées T1 ou T2 pour un même phénomène. Etonnant mais vrai, le temps dépend du mouvement de l'observateur.

Pour un satellite GPS, V est de l'ordre de 7.5 km/s , C = 300 000 Km/s

Par exemple la durée du jour au sol T1 est de 24 h = 86400 s et dans l'espace cette durée est T2 , l'écart est de 27 millionièmes de seconde, une telle erreur sur le temps pourrait conduire à un écart de distance de 8 km/jour.

b) En relativité générale : Lorsqu'une horloge se déplace dans un champ de gravitation ( ou est soumise à une accélération ) l’écoulement de son temps en est affecté. C'est le cas des satellites GPS évoluant dans un champ de gravité plus faible qu'au sol.

Cet effet s'appelle "l'effet Einstein", Actuellement avec la précision des horloges optiques, cet effet est mesurable dès qu'une horloge est déplacée verticalement de 30 cm.

Einstein montre que le temps ne s’écoule pas de la même façon au rez-de-chaussée d’un immeuble qu’au dernier étage ; et de manière générale, une horloge en altitude prend de l’avance sur une autre située plus bas. Il s’agit d’un effet gravitationnel. Cependant, le décalage est si faible que l’on peut l’ignorer dans la plupart des gestes du quotidien

NB : Le décalage relatif en fréquence d'une horloge à l'altitude H par rapport à une horloge au sol, dans le champ gravitationnel terrestre, est de

Exemple: A 400 km, altitude approximative des stations spatiales, le décalage relatif est donc de 4.4 10^-11

En laboratoire, les recherches portent aujourd'hui sur des horloges, dont les incertitudes en fréquences pourraient être de 10^-18 voire 10^-19, avec une telle précision on pourra :

- Tester les lois fondamentales de la physique

- Vérifier l'hypothèse d'invariabilité des constantes physiques

- Améliorer le temps atomique international

- Développer des applications géodésiques, en reliant les variations d'altitude aux décalages des horloges par effet gravitationnel d'Einstein

- Définir avec encore plus de précision la forme du géoïde de référence. Par exemple une stabilité en fréquence attendue de 10^-18 pourra permettre des mesures d'écart altimétrique de 1 cm

Voir à http://www.science.gouv.fr/fr/dossiers/bdd/res/2749/de-la-relativite-au-gps/ Voir à http://www.im2.univmed.fr/im2/mecaspa/COURS_SA/gravitat/gravitat.htm#I

LES SOURCES D'ERREURS SUR LE TEMPS GPS :

Ci-dessous la partie entre astérisques, tirée de http://fr.wikipedia.org/wiki/Global_Positioning_System

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La correction de l'écart de temps

Chaque satellite envoie un message de correction afin d'obtenir le temps GPS exact. L'écart entre le temps GPS et le temps d'une horloge d'un récepteur peut se mettre sous la forme :

$\mathrm dt = \frac 1 c \left(\rho_R^s + \Delta_\rho^\text{iono} + \Delta_\rho^\text{tropo} + \Delta_\rho^\text{rot} - R_R^s\right) + \mathrm dt^s + \mathrm dt^e + \Delta t_\text{rel}$

· c : la vitesse de la lumière dans le vide ;

· $\rho_R^s$ : la distance réelle entre le récepteur et le satellite ;

· $\Delta_\rho^\text{iono}$ : la correction ionosphérique calculée par le modèle ; http://www.oca.eu/heberges/pnaf/Site_old/Forcalquier03/MNB_iono.pdf, l'ordre de grandeur de l'erreur est de 1 à 10 mm/Km de distance mesurée

· $\Delta_\rho^\text{tropo}$ : la correction troposphérique calculée par le modèle ;

· http://www.ensg.eu/IMG/pdf/-TFE-/tfe_13948.pdf

· $\Delta_\rho^\text{rot}$ : l'erreur due à la rotation de la Terre pendant le temps de trajet du signal ;

· : la pseudo distance mesurée ;

· dt^s : l'écart entre le temps GPS et le temps de l'horloge satellite ;

· dt^e : le retard dû au récepteur (antenne, câble, circuits) ;

· Dt_rel : la correction relativiste.

En partant d’un récepteur GPS dont on connaît parfaitement les coordonnées, on effectue des mesures concernant plusieurs satellites sur une période donnée. Ensuite on peut réussir à obtenir une précision de détermination de 10ns à 50ns en effectuant la moyenne des observations précédentes. Si deux récepteurs placés à très grande distance l'un de l'autre effectuent les mêmes mesures au même moment, les deux récepteurs peuvent se synchroniser entre eux avec la précision de quelques nanosecondes.

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EXPLOITATION DES SIGNAUX GPS PERTUBES : La transmission des signaux GPS est perturbée par la présence de vapeur d'eau mais également par les différences de température en altitude. Les météorologues utilisent ces perturbations pour reconstituer des profils de températures ou des couvertures nuageuses.

Par ailleurs la réflexion ( sur les eaux océaniques ) des signaux GPS permet de mesurer la hauteur des vagues.

GPS DIFFERENTIEL : La méthode consiste à utiliser un récepteur placé en une station connue. Il calcule donc l'erreur volontaire SA dont nous avons parlé plus haut, et qui dégrade la précision. Cette information de correction est alors répercutée sur les récepteurs du voisinage. C'est ainsi que fonctionnent les avions qui peuvent alors se positionner à quelques mètres près.

* Article tiré de Wikipédia http://fr.wikipedia.org/wiki/GPS_Diff%C3%A9rentiel_-_DGPS**

La simple différence

En observant simultanément le même satellite au même moment à partir de deux récepteurs, on accède à deux pseudo-distances dont on fait la différence. soit R: la distance calculée par les récepteurs d : la distance réelle dt : l'erreur de synchronisation, l'indice iono affecte les erreurs dues à l'ionosphère, ephe celles dues aux éphémérides de position des satellites, relat les erreurs relativistes, tropo les erreurs dues à la troposhère

R₁ − R₂ = d1 − d2 + c(dt₁ − dt₂) + e_iono₁ − e_iono₂ + e_tropo₁ − e_tropo₂ + e_ephe₁ − e_ephe₂ + e_relat₁ − e_relat₂ + e_reste

or e_iono₁ = e_iono₂ de même pour l'erreur troposphérique, l'erreur éphéméride et l'erreur relativiste.

Les termes d’erreurs communs disparaissent alors : ce sont les erreurs propres aux satellites : - décalage d’horloge - éphéméride - effets relativistes

La double différence

Si l’on observe, par deux récepteurs, simultanément deux satellites, on peut effectuer une double différence c'est-à-dire la différence des simples différences effectuées sur chaque satellite.

Les erreurs propres aux satellites disparaissant évidemment de même, mais aussi les erreurs dues aux décalages des horloges des récepteurs.

La triple différence

On observe dans ce cas simultanément par deux récepteurs, deux satellites à des époques différentes. La triple différence est le résultat de la différence des doubles différences correspondant à chacune des époques.

En considérant que les ambiguïtés sont constantes dans le temps, celles-ci sont entièrement éliminées.

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Les nouvelles techniques permettent d'atteindre une précision centimétrique.

Voir http://pro.thalesnavigation.com/fr/pro/scripts/techno_gps/techno_gps_dgps.asp

PRECISION ATTENDUE :

Les performances du GPS "civil" sont largement suffisantes pour les randonnée ou la plaisance, mais pas pour des applications qui demandent une précision de l’ordre du mètre, voire du centimètre, un GPS dit "différentiel", beaucoup plus coûteux, doit alors être utilisé . Après 2008 avec Galileo et le GPS 2 les performances s’approcheront de ce "super GPS".

Il est aussi certain que GPS et Galileo seront fortement associés à la téléphonie mobile. Aujourd’hui, une puce GPS est déjà intégrée à certains téléphones mobiles aux US et lorsque un numéro d'urgence est composé, l’utilisateur est immédiatement localisé.

4°) MESURE DE VITESSE ET PARAMETRES ORBITAUX:

Pour un mobile rapide, la mesure de vitesse utilise aussi un minimum de 4 satellites et l'effet Doppler. Le calcul des paramètres orbitaux d'un engin spatial se fait en utilisant un nombre maximal de satellites et un filtrage de Kalman.

Il en est ainsi du système DIOGENE ( Détermination Immédiate d'Orbite par GPS et Navigateur Embarqué ), qui utilise les mesures de pseudo-distance et de pseudo-vitesse d'un récepteur GPS de Sextant Avionique. Il peut équiper à partir de 1998 tout satellite en orbite basse au dessus de 600 km et les géostationnaires. Une précision de positionnement de 10 m et de 1 cm/s sur la vitesse sont possibles. On a donc une restitution d'orbite en temps réel.

GPS ET GEOLOGIE : Une des applications récentes les plus importantes en géologie ( tectonique des plaques ) permise par l'amélioration du système et le traitement différentiel. Voir site avec théorie

III L'AVENIR :

a) Progrès envisagés :

Enfin, on pourrait améliorer un système satellitaire tel que le G.P.S par une méthode différentielle , en utilisant un émetteur-récepteur placé en une position géodésique parfaitement connue et mesurant l’erreur entre la position issue des réceptions G.P.S. et sa position réelle. Ces mesures, exploitées et rediffusées automatiquement dans un rayon de quelques centaines de milles, permettraient d’atteindre des précisions de l’ordre de quelques mètres, voire du mètre. Pour toutes les utilisations qui requièrent une grande précision, le G.P.S. différentiel entre alors en concurrence avec la plupart des systèmes de proximité à infrastructure terrestre.

Un GPS relatif est aussi envisagé pour les rendez-vous en orbite. La cible et le poursuivant fonctionnent au GPS et déduisent le mouvement relatif.

Les futurs systèmes devront répondre à de nouvelles exigences. L’exemple est donné par la navigation aéronautique: un système de navigation ne peut être utilisé dans les conditions d’approche et d’atterrissage les plus difficiles que s'il est totalement fiable. Ce qui interdit toute défaillance du signal en cours d’exploitation dans un délai de quelques secondes. Des études sont en cours, notamment sur la mise en place de géostationnaires chargés de la surveillance des systèmes, et sur la redondance des équipements émetteurs et récepteurs.

Quant aux utilisateurs (professionnels ou amateurs), ils bénéficieront de plus en plus de la toute-puissance des calculateurs qui mettront à leur disposition des récepteurs "intelligents" capables de présenter de manière simple les informations issues d’un ou de plusieurs systèmes, spatiaux ou terrestres.

b) Sur la mesure du temps: cette rubrique est un résumé personnel d'une lecture de "Pour la sciences " sur LE TEMPS et sa MESURE, N° spécial 397 de novembre 2010 intitulé "LE TEMPS EST-IL UNE ILLUSION? "

BIBLIOGRAPHIE : Mécanique spatiale tome II, ouvrage du CNES, auteur Jean Pierre CARROU, 1995, Cépaduès éditions, page 1331.

Utilisation du GPS en tectonique des plaques : http://www.ens-lyon.fr/Planet-Terre/Infosciences/Geodynamique/Mouvements-plaques/GPS/gps.htm#GPS

b) PROJETS A VENIR :

Constellation Skybridge :

Système de télécommunications, à haut débit via les satellites , composé de 80 satellites en orbite circulaire à 1457 km. Lancement 2001 et système totalement opérationnel en 2004-2005.

http://www.skybridgesatellite.com/p21_rele/pr_07f.htm

PROJET EUROPEEN GALILEO :

Système de positionnement par satellites de précision métrique, compatibles avec ceux existants, mis en place entre 2004 et 2008.

La constellation Galileo comprendra 30 satellites (27 opérationnels et 3 de réserve), dans trois plans d’orbites circulaires moyennes (MEO) de 23616 km d'altitude, inclinées à 56° par rapport à l'équateur. Cela permettra une excellente couverture de la planète, jusqu’à une latitude de 75° . Grâce au nombre important de plates formes et à la présence de 3 satellites de réserve, les pannes éventuelle sur l'un des satellites passeront inaperçues. Voir http://www.esa.int/export/esaCP/ESA8OIF18ZC_France_0.html.

Guiziou Robert février 2011, revu sept 2011, revu 2016